Математичне моделювання економічних систем
Математичне моделювання економічних систем Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найбільш ефективного вирішення завдань, що виникають в у сфері економіки, з використання, як правило, сучасної обчислювальної техніки. [4] Процес рішення економічних завдань здійснюється у кілька етапів: 1. Змістовна (економічна) постановка завдання. Спочатку потрібно усвідомити завдання, чітко сформулювати її. При цьому визначаються також об'єкти, які відносяться до розв'язуваної задачі, а також ситуація, яку потрібно реалізувати в результаті її рішення. Це - етап змістовної постановки задачі. Для того, щоб завдання можна було описати кількісно і використовувати при її вирішенні обчислювальну техніку, потрібно зробити якісний і кількісний аналіз об'єктів і ситуацій, які мають до неї відношення. При цьому складні об'єкти, розбиваються на частини (матеріалів), визначаються зв'язку цих елементів, їх властивості, кількісні та якісні значення властивостей, кількісні та логічні співвідношення між ними, що виражаються у вигляді рівнянь, нерівностей і т.п. Це -- етап системного аналізу задачі, у результаті якого об'єкт виявляється представленим у вигляді системи. Наступним етапом є математична постановка задачі, в процесі якої здійснюється побудова математичної моделі об'єкта і визначення методів (алгоритмів) одержання рішення задачі. Це - Етап системного синтезу (математичної постановки) завдання. Слід зауважити, що на цьому етапі може виявитися, що раніше проведений системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв'язання задачі, у результаті доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Як правило, вирішуються в економічній практиці завдання стандартизовані, системний аналіз здійснюється в розрахунку на відому математичну модель і алгоритм її вирішення, проблема полягає лише у виборі відповідного методу. Наступним етапом є розробка програми розв'язання задачі на ЕОМ. Для складних об'єктів, складаються з великої кількості елементів, що володіють великим числом властивостей, може знадобитися складання бази даних і засобів роботи з нею, методів добування даних, потрібних для розрахунків. Для стандартних завдань здійснюється не розробка, а вибір придатного пакета прикладних програм та системи управління базами даних. На заключному етапі здійснюється експлуатація моделі та отримання результатів. Таким чином, рішення завдання включає наступні етапи: 1. Змістовна постановка задачі. 2. Системний аналіз. 3. Системний синтез (математична постановка задачі) 4. Розробка або вибір програмного забезпечення. 5. Рішення завдання. Послідовне використання методів дослідження операцій та їх реалізація на сучасній інформаційно-обчислювальної техніки дозволяє подолати суб'єктивізм, виключити так звані вольові рішення, засновані не на строгому і точному облік об'єктивних обставин, а на випадкових емоціях і особистій зацікавленості керівників різних рівнів, які до того ж не можуть узгодити ці свої вольові рішення. Системний аналіз дозволяє врахувати і використовувати в управлінні всю наявну інформацію про керованому об'єкті, узгодити рішення, що приймаються з точки зору об'єктивного, а не суб'єктивного, критерію ефективності. Заощаджувати на обчисленнях при управлінні те ж саме, що заощаджувати на прицілюванні при постріли. Однак ЕОМ не тільки дозволяє врахувати всю інформацію, а й позбавляє управлінця від потрібної йому інформації, а всю потрібну пускає в обхід людини, представляючи йому тільки саму узагальнену інформацію, квінтесенцію. Системний підхід в економіці ефективний і сам по собі, без використання ЕОМ, як метод дослідження, при цьому він не змінює раніше відкритих економічних законів, а тільки вчить, як їх краще використовувати. [2] 1.1. Основні системні поняття Кібернетична система - це безліч взаємопов'язаних об'єктів - елементів системи, здатних сприймати, запам'ятовувати і переробляти інформацію, а також обмінюватися інформацією. Система включає також зв'язки між елементами. Елементи і зв'язку між ними можуть мати властивості (показниками), кожне з яких може приймати деякий безліч значень. Приклади кібернетичних систем: автопілот, регулятор температури в холодильнику, ЕОМ, людський мозок, живий організм, біологічна популяція, людське суспільство. Кожен елемент системи, у свою чергу, може бути системою, яка по відношенню до вихідної системі є підсистемою. У свою чергу, будь-яка система може бути підсистемою іншої системи, яка по відношенню до неї є надсістемой. Середовищем даної системи називається система, що складається з елементів, які не належать цій системі. Об'єднання двох систем є система, складена з елементів об'єднуються систем. Перетин двох систем є система, що складається з елементів, що належать одночасно обом цим системам. Об'єднання системи і її середовища називається система-універсум. Перетин системи і її середовища називається порожній системою. Вона не містить жодного елемента. Для того, щоб елементи системи могли сприймати, запам'ятовувати і переробляти інформацію, вони повинні мати мінливістю, тобто змінювати свої властивості. Кажуть, що елемент може перебувати в різних станах. Кожен елемент характеризується набором показників. При зміні значення хоча б одного з показників елемент переходить в інший стан, тобто стан елемента визначається сукупністю конкретних значень показників елементу. Система в цілому також може розглядатися як елемент, вона характеризується своїми показниками і може переходити з одного стану в інший. Показники можуть бути числовими і нечислових. Числові показники можуть бути безперервними і дискретними. Нечислових показники звичайно виражають у вигляді числових, наприклад -- інтелект (коефіцієнт інтелекту), рівень знань студента (оцінка в балах), ставлення однієї людини до іншої (соціологічні індекси). Елемент може здійснювати вплив на інші елементи системи, змінюючи їх стан. Для переходу елемента з одного стану в інший потрібна певна енергія. Якщо фізичний процес впливу одного елемента на інший дає також енергію для переводу в інший стан, то на другий елемент здійснюється енергетичний вплив. Якщо ж вказаний процес дає тільки відомості про стані впливає елемента, а енергія для переводу в інший стан елемента, на який спрямована дія, береться з іншого джерела, то на елемент здійснюється інформаційний вплив. Кажуть, що перший елемент передає сигнал другому елементу. Сигнал є повідомлення про стан елементу. Надалі ми будемо використовувати термін "передача сигналу" замість "інформаційне вплив "і" вплив "замість" енергетичне вплив ". Стан елементу може змінюватися мимоволі, або в результаті сигналів і впливів, що надходять ззовні системи. Повідомлення - це сукупність сигналів. Сигнали, виробляються елементами системи, можуть надходити за межі системи, в цьому випадку вони називаються вихідними сигналами системи. У свою чергу, на елементи можуть надходити сигнали ззовні системи, вони називаються вхідними. Аналогічним чином визначаються вхідні і вихідні впливу. Структура системи -- це сукупність її елементів і зв'язків між ними, по яких можуть проходити сигнали і впливи. Входами називаються елементи системи, до яких включені вхідні впливу або на які надходять вхідні сигнали. Вхідними показниками називаються ті показники, які змінюються в результаті вхідного впливу або сигналу. Виходами називаються елементи системи, які здійснюють вплив або передають сигнал в іншу систему. Вихідними показниками називаються ті показники системи, зміни яких викликають вихідна вплив або вихідний сигнал, або самі є таким впливом або сигналом. [4] 1.2. Класифікація систем. [3] Класифікацію кібернетичних систем ми проведемо за двома критеріями: ступінь складності системи і її детермінованість. За ступенем складності системи бувають: 1. Прості. 2. Складні. 3. Надскладні. До простих належать системи, що мають просту структуру і легко піддаються математичному опису, вони можуть бути реалізовані без використання ЕОМ. Складними є системи, що мають багато внутрішніх зв'язків і складне математичний опис, що реалізовується на ЕОМ. Надскладні системи не піддаються математичному опису. Межі між зазначеними класами розмиті і можуть з часом зміщуватися, наприклад, вдосконалення математичного апарату та обчислювальної техніки дозволяє дати опис систем, для яких це раніше було неможливо, або складний опис зробити простим. За другим критерієм системи поділяються на детерміновані та ймовірні. Всі можливі випадки виходять комбінуванням зазначених класів: 1. Прості детерміновані системи: - холодильник з регулятором; - система розміщення верстатів у цеху; - система автобусних маршрутів; - сімейний бюджет; - розклад занять факультету; 2. Складні детерміновані системи: - ЕОМ; - кольоровий телевізор; - складальний автоконвейер; 3. Надскладні детерміновані системи: - шахи. 4. Прості імовірнісні системи: - лотерея; - система статистичного контролю продукції на підприємстві; 5. Складні імовірнісні системи: - система матеріально-технічного постачання на підприємстві; - система диспетчеризація руху літаків поблизу великого аеропорту; - система диспетчеризація енергетичної системи Росії; 6. Надскладні імовірнісні системи: - підприємство в цілому, включаючи всі його технічні, економічні, адміністративні, соціальні характеристики; - суспільство; - людський мозок. У нашому курсі ми будемо цікавитися, головним чином, простими і складними системами, ймовірносними і детермінованими. 1.3. Динаміка системи [1] Стан системи -- це сукупність значень її показників. Всі можливі стану системи є її безліч станів. Якщо в цій безлічі визначено поняття близькості елементів, то воно називається простором станів. Рух (поведінка) системи - це процес переходу системи з одного стану в інший, з нього в третього і т.д. Якщо перехід системи з одного стану в інше відбувається без проходження будь-яких проміжних станів, то система називається дискретної. Якщо при переході між будь-якими двома станами система обов'язково проходить через проміжне стан, то вона називається динамічною (безперервної). Можливі наступні режими руху системи: 1) рівноважний, коли система знаходиться весь час в одному і тому ж стані; 2) періодичний, коли система через рівні проміжки часу проходить одні й ті ж стану; Якщо система знаходиться в рівноважному або періодичному режимі, то говорять, що вона знаходиться у сталому або стаціонарному режимі. 3) перехідний режим -- рух системи між двома періодами часу, в кожному з яких система перебувала в стаціонарному режимі; 4) аперіодіческій режим - система проходить деякий безліч станів, однак закономірність проходження цих станів є більш складною, ніж періодичні, наприклад, змінний період; 5) ергодичної режим - Система проходить весь простір станів таким чином, що з плином часу проходить скільки завгодно близько до будь-якого заданого стану. Властивості об'єкта та його поведінка залежать від того, яким чином ми його представляємо у вигляді системи. Наприклад, якщо повітря, що знаходиться в цій кімнаті, представити у вигляді системи молекул, кожна з яких характеризується своїми координатами і швидкістю, то поведінку такої системи буде ергодічно, якщо ж визначити його як систему, що складається з одного елемента, показниками якого є тиск і температура, то така система перебуває в стаціонарному режимі. Для всіх практичних завдань другого спосіб визначення системи переважно. Ми отримуємо просту детерміновану систему, а в першому випадку - надскладну імовірнісну, яку ми не зможемо дослідити, а якщо б навіть змогли, то ніде б не використовували отримані результати. Необхідно правильне визначення системи і при дослідженні економічних об'єктів, якими ми бажаємо керувати. Інструментом дослідження об'єктів з метою вибору оптимальних способів управління є кібернетичного моделювання. 1.4. Кібернетичне моделювання [5] У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільно або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним даним у тих аспектах, які важливі в даному дослідженні. Наприклад, модель літака продувають в аеродинамічній трубі, замість того, щоб відчувати справжній літак - це дешевше. При теоретичному дослідженні атомного ядра фізики представляють його у вигляді краплі рідини, що має поверхневий натяг, в'язкість і т.п. Керовані об'єкти є, як правило, дуже складними, тому процес управління невіддільний від процесу вивчення цих об'єктів. Модель - це подумки представлена або матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна заміщати його так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт. При моделюванні використовується аналогія між об'єктом - оригіналом і його моделлю. Аналогії бувають наступними: 1) зовнішня аналогія (модель літака, корабля, мікрорайону, форма); 2) структурна аналогія (водопровідна мережа та електромережу моделюються за допомогою графів, відображають всі зв'язки і перетину, але не довжини окремих трубопроводів); 3) динамічна аналогія (по поведінці системи) - маятник моделює електричний коливальний контур; 4) кібернетичні моделі відносяться до другого і третього типу. Для них властиво те, що вони реалізуються за допомогою ЕОМ. Сенс кібернетичного моделювання полягає в те, що експерименти проводяться не з реальною фізичною моделлю об'єкта, а з його описом, який міститься в пам'ять ЕОМ разом з програмами, реалізують зміни показників об'єкта, передбачені цим описом. З описом виробляють машинні експерименти: змінюють ті чи інші показники, тобто змінюють стан об'єкта і реєструють його поведінку в цих умовах. Часто поведінку об'єкта імітується в багато разів швидше, ніж насправді, завдяки швидкодією ЕОМ. Кібернетичне модель часто називають імітаційної моделлю. Формування опису об'єкта (його системний аналіз) є найважливішою ланкою кібернетичного моделювання. Спочатку досліджуваний об'єкт розбивається на окремі частини і елементи, визначаються їх показники, зв'язки між ними і взаємодії (енергетичні та інформаційні). У результаті об'єкт виявляється представленим у вигляді системи. При цьому дуже важливо врахувати все, що має значення для тієї практичного завдання, в якій виникла потреба в кібернетичному моделюванні, і разом з тим не переусложніть систему. Наступним етапом є складання математичних моделей ефективного функціонування об'єкта і його системної моделі. Потім проводиться програмування опису і моделей його функціонування.[3]
